Valendo US$ 1 milhão! Pesquisa pode desvendar hipótese matemática do século 19

Caso a pesquisa se prove consistente, será o primeiro passo para resolver a hipótese de Riemann (e ainda levar uma bolada como prêmio)

Camilla Germano

postado em 19/01/2022 19:04 / atualizado em 03/02/2022 13:16

A amplitude de espalhamento de Remmen (foto) traduz a função zeta de Riemann para a linguagem da teoria quântica de campos - (crédito: GRANT REMMEN / Universidade da Califórnia)

Considerado o problema matemático não resolvido mais importante da história, a Hipótese de Riemann (Riemann hypothesis, em inglês) tem até um prêmio de 1 milhão de dólares para quem puder comprová-lo. Agora, um físico da Universidade da Califórnia pode ter encontrado a chave para resolver esse grande mistério.

Em termos matemáticos, a Hipótese é uma suposição sobre os números primos (2, 3, 5, 7…) e sua menor frequência — pois são separados por lacunas cada vez mais distantes na linha numérica. O alemão Bernhard Riemann descobriu, em 1859, que a chave para entender essa distribuição de números na linha numérica estaria em outro conjunto de número — os zeros de uma função chamada ‘função zeta de Riemann’ que tem entradas reais e imaginárias.

A partir disso, ele inventou uma fórmula para calcular quantos números primos existem, até certo corte e em quais intervalos eles ocorrem, com base nos zeros da função zeta.

No entanto, a fórmula de Riemann só pode ser considerada ao assumir que as partes reais desses zeros da função zeta são todas iguais à metade. Reimann provou essa propriedade para os primeiros números primos e, ao longo do século passado, foi demonstrado computacionalmente que funciona para muitos números primos grandes, mas não se pode afirmar se funcionaria até o infinito.

Em termos mais simples, a teoria afirma que a distribuição de números primos poderia seguir um padrão descrito por uma equação chamada "função zeta de Riemann".

Para Riemann a hipótese mostraria que esse padrão vale para todos os zeros não triviais, e a tendência foi confirmada para os primeiros trilhões deles. Dito isto, há conjecturas numéricas que funcionam para trilhões de exemplos e depois falham em números extremamente grandes. É por isso que os matemáticos não podem ter certeza de que a hipótese é verdadeira até que exista uma prova empírica.

A pesquisa

O pesquisador e físico da Universidade da Califórnia, Grant Remmenn, geralmente se ocupa com pesquisas da área da física, especialmente sobre a teoria quântica de campos, mas o estudioso logo percebeu que um dos conceitos da teoria quântica compartilha muitas características com a função zeta de Riemann.

O chamado ‘amplitude de espalhamento’ codifica a probabilidade da mecânica quântica de que as partículas irão interagir umas com as outras.

As amplitudes de espalhamento geralmente funcionam bem com momentos que são números complexos. Esses números consistem em uma parte real e uma parte imaginária (um múltiplo de -1, que é chamado de ‘i’ pelos matemáticos). As amplitudes de espalhamento têm boas propriedades no plano complexo. Por um lado, eles são analíticos, expressados como uma série, em torno de todos os pontos, exceto um conjunto selecionado de pólos, que estão todos ao longo de uma linha.

Os pólos de amplitude de espalhamento correspondem à produção de partículas, onde ocorre um evento físico que gera uma partícula com momento. O valor de cada pólo corresponde à massa da partícula que é criada. Portanto, tratava-se de encontrar uma função que se comportasse como uma amplitude de espalhamento e cujos pólos correspondem aos zeros não triviais da função zeta.

“Isso parecia semelhante ao que está acontecendo com os zeros da função zeta de Riemann, que parecem estar em uma linha. E então pensei em como determinar se essa aparente semelhança era algo real”, explica Grant.

Com caneta, papel e um computador para verificar seus resultados, Remmenn começou a trabalhar na concepção de uma função que tinha todas as propriedades relevantes. “Eu tive a ideia de conectar a função zeta de Riemann às amplitudes no fundo da minha mente por alguns anos. Uma vez que comecei a encontrar tal função, levei cerca de uma semana para construí-la, e explorar completamente suas propriedades e escrever o artigo levou alguns meses”, destaca Grant.

Caso a pesquisa, que foi publicada na revista Physical Review Letters, se prove verdade, será um primeiro passo para resolver a hipótese de Riemann. No entanto, quem finalmente resolvê-lo precisará aprovação do Clay Mathematics Institute, dos Estados Unidos, para poder receber o prêmio de 1 milhão de dólares.